Question

【题目】如图，已知正方形的边长为,点分别在边上, 与的交点为， ,现将沿线段折起到位置，使得．

(1)求证：平面平面；

(2)求五棱锥的体积；

(3)在线段上是否存在一点,使得平面？若存在，求；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在.

【解析】试题分析：(1)要证平面平面，即证平面；

(2) 连接AC，设AC∩EF=H，由已知条件推导出平面A′HC⊥平面ABCD，过点A′作A′O垂直HC且与HC相交于点O，则A′O⊥平面ABCD，由此能求出五棱锥A′-BCDFE的体积．
（3）线段A′C上存在一点M，使得BM∥平面A′EF，A′M=．证明平面MBD∥平面A′EF， 即可得出结论．

试题解析：

（1）由是正方形， ， 是的中点，且，从而有所以平面， 从而平面，平面.

（2）过点作垂直且与相交于点，由（1）知平面，

因为正方形的边长为， ，得到： ，

所以，所以

所以五棱锥的体积.

（3）线段上存在点，使得平面， ．

证明： ， ，所以，所以平面，

又，所以平面， 所以平面平面，

由在平面内，所以平面.