Question

【题目】关于函数f（x）=sin（x﹣）sin（x+），有下列命题：
①此函数可以化为f（x）=﹣sin（2x+）；
②函数f（x）的最小正周期是π，其图象的一个对称中心是（ ， 0）；
③函数f（x）的最小值为﹣ ， 其图象的一条对称轴是x=；
④函数f（x）的图象向右平移个单位后得到的函数是偶函数；
⑤函数f（x）在区间（﹣ ， 0）上是减函数．
其中所有正确的命题的序号个数是（　　）
A.2
B.3
C.4
D.5

Answer 1

【答案】C
【解析】①f（x）=sin（x﹣）sin（x+）=﹣[cos（2x+）﹣cos（﹣）]=﹣cos（2x+）=﹣sin[﹣（2x+）]=﹣sin（﹣2x）=﹣sin[π﹣（﹣2x）]=﹣sin（2x+），故正确；
②由①得f（x）=﹣cos（2x+），从而解得T==π，令2x+=k+可解得：x=+ ， k∈Z，故k=0时，（ ， 0）是一个对称中心．故正确；
③由①得f（x）=﹣cos（2x+），令2x+=kπ可解得：x=-k∈Z，故k=1时，图象的一条对称轴是x= ， 函数f（x）的最小值为﹣ ． 故正确；
④函数f（x）的图象向右平移个单位后得到的函数为f（x﹣）=﹣cos[2（x﹣）+]=﹣cos[2x﹣+]=﹣cos2x，是偶函数，故正确；
⑤由①得f（x）=﹣cos（2x+），令2kπ﹣π≤2x+≤2π，可解得：-≤x≤k- ， k∈Z，即当k=0时函数f（x）在区间（﹣ ， ﹣）上是减函数，故不正确．
综上可得，所有正确的命题的序号个数是4个．
故选：C．
【考点精析】解答此题的关键在于理解三角函数的积化和差公式的相关知识，掌握三角函数的积化和差公式：;．