Question

【题目】已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是________

Answer 1

【答案】

【解析】

解法一：先求得直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（﹣，0），由﹣≤0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M和点A重合，求得b=；②若点M在点O和点A之间，求得＜b＜； ③若点M在点A的左侧，求得＞b＞1﹣．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果．

解法二：考查临界位置时对应的b值，综合可得结论．

解法一：由题意可得，三角形ABC的面积为 =1，

由于直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（﹣，0），

由直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，

故﹣≤0，故点M在射线OA上．

设直线y=ax+b和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为（，）．

①若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，故N（，），

把A、N两点的坐标代入直线y=ax+b，求得a=b=．

②若点M在点O和点A之间，此时b＞，点N在点B和点C之间，

由题意可得三角形NMB的面积等于，

即=，即 =，可得a=＞0，求得 b＜，

故有＜b＜．

③若点M在点A的左侧，则b＜，由点M的横坐标﹣＜﹣1，求得b＞a．

设直线y=ax+b和AC的交点为P，则由 求得点P的坐标为（，），

此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即 （1﹣b）|xN﹣xP|=，

即（1﹣b）|﹣|=，化简可得2（1﹣b）2=|a2﹣1|．

由于此时 b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2=|a2﹣1|=1﹣a2 ．

两边开方可得 （1﹣b）=＜1，∴1﹣b＜，化简可得 b＞1﹣，

故有1﹣＜b＜．

再把以上得到的三个b的范围取并集，可得b的取值范围应是 ，

解法二：当a=0时，直线y=ax+b（a＞0）平行于AB边，

由题意根据三角形相似且面积比等于相似比的平方可得=，b=1﹣，趋于最小．

由于a＞0，∴b＞1﹣．

当a逐渐变大时，b也逐渐变大，

当b=时，直线经过点（0，），再根据直线平分△ABC的面积，故a不存在，故b＜．

综上可得，1﹣＜b＜，

故答案为：．