Question

【题目】已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣a|，a∈R．
（1）当a=3时，解不等式f（x）＞0；
（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）= ，

当x＞2时，1﹣x＞0，即x＜1，解得x∈；

当 ≤x≤2时，5﹣3x＞0，即x＜ ，解得 ≤x＜ ；

当x＜ 时，x﹣1＞0，即x＞1，解得1＜x＜ ；

综上所述，不等式的解集为{x|1＜x＜ }

（2）解：当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立2﹣x﹣|2x﹣a|＜0

2﹣x＜|2x﹣a|恒成立

2﹣x＜2x﹣a或2x﹣a＜x﹣2恒成立

x＞ 或x＜a﹣2恒成立，

∴当x∈（﹣∞，2）时，a＜3x﹣2①或a＞x+2②恒成立，

解①，a不存在；解②得：a≥4．

综上知，a≥4

【解析】（1）依题意知，a=3时，f（x）= ，通过对x范围的分类讨论，解不等式f（x）＞0即可；（2）利用等价转化的思想，通过分离参数a，可知当x∈（﹣∞，2）时，a＜3x﹣2或a＞x+2恒成立，从而可求得a的取值范围．
【考点精析】掌握绝对值不等式的解法是解答本题的根本，需要知道含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．