Question

【题目】已知抛物线的焦点在抛物线上，点是抛物线上的动点．

（1）求抛物线的方程及其准线方程；

（2）过点作抛物线的两条切线，、分别为两个切点，求面积的最小值．

Answer 1

【答案】（1）的方程为 其准线方程为；（2）2

【解析】试题分析：（1）求得抛物线C1的焦点，由题意可得p=2，即可得到所求抛物线的方程和准线方程；（2）设P（2t，t2），A（x1，y1），B（x2，y2），求出y=x2+1的导数，可得切线PA，PB的斜率和方程，又PA和PB都过P点，可得直线AB的方程，代入抛物线y=x2+1，运用韦达定理和弦长公式，由点到直线的距离公式，可得P到直线AB的距离，再由三角形的面积公式，化简整理计算可得所求面积的最小值．

试题解析：

（1）的方程为 其准线方程为．

（2）设，，，

则切线的方程：，即，又，

所以，同理切线的方程为，

又和都过点，所以，

所以直线的方程为.

联立得，所以。

所以．

点到直线的距离．

所以的面积

所以当时， 取最小值为。即面积的最小值为2.