Question

【题目】已知函数，其中.

（Ⅰ）求函数的零点个数；

（Ⅱ）证明： 是函数存在最小值的充分而不必要条件.

Answer 1

【答案】（I）详见解析；（II）详见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）对函数求导有 ，令，求出根，得到 的零点个数，注意分情况讨论；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的分类讨论，分别利用导数与函数最值的关系以及充分不必要条件的定义即可证明.

试题解析：

（Ⅰ）由，

得

令，得，或.

所以当时，函数有且只有一个零点： ；当时，函数有两个相异的零点： ， .

（Ⅱ）①当时， 恒成立，此时函数在上单调递减，

所以，函数无极值.

②当时， ， 的变化情况如下表：

所以， 时， 的极小值为.

又时， ，

所以，当时， 恒成立.

所以， 为的最小值.

故是函数存在最小值的充分条件.

③当时， ， 的变化情况如下表：

因为当时， ，

又，

所以，当时，函数也存在最小值.

所以， 不是函数存在最小值的必要条件.

综上， 是函数存在最小值的充分而不必要条件.

点睛; 本题注意考查了导数与函数的极值、最值的关系，属于中档题. 涉及的考点有：用导数研究函数的极值、最值，充分不必要条件的判断，根的存在及个数判断. 考查了学生分析问题和转化的能力以及分类讨论思想.