Question

【题目】已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，斜率为2 的直线交抛物线于A（x1 ， y1）和B（x2 ， y2）（x1＜x2）两点，且|AB|=9，
（1）求该抛物线的方程；
（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若 ，求λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：直线AB的方程是y=2 （x﹣ ），与y2=2px联立，有4x2﹣5px+p2=0，

∴x1+x2=

由抛物线定义得：|AB|=x1+x2+p=9

∴p=4，∴抛物线方程是y2=8x

（2）解：由p=4，4x2﹣5px+p2=0得：x2﹣5x+4=0，

∴x1=1，x2=4，

y1=﹣2 ，y2=4 ，从而A（1，﹣2 ），B（4，4 ）．

设 =（x3，y3）=（1，﹣2 ）+λ（4，4 ）=（4λ+1，4 λ﹣2 ）

又[2 （2λ﹣1）]2=8（4λ+1），解得：λ=0，或λ=2

【解析】（1）直线AB的方程与y2=2px联立，有4x2﹣5px+p2=0，从而x1+x2= ，再由抛物线定义得：|AB|=x1+x2+p=9，求得p，则抛物线方程可得．（2）由p=4，4x2﹣5px+p2=0求得A（1，﹣2 ），B（4，4 ）．再求得设 的坐标，最后代入抛物线方程即可解得λ．