Question

【题目】在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=AB=BC=2，且点O为AC中点． （Ⅰ）证明：A1O⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A﹣A1B﹣C1的大小．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）∵AA1=A1C，且O为AC的中点， ∴A1O⊥AC，
又∵侧面AA1C1C⊥底面ABC，交线为AC，且A1O平面AA1C1C，
∴A1O⊥平面ABC
解：（Ⅱ）如图，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
由已知可得O（0，0，0），A（0，﹣1，0）， ， ，
∴ ， ，
设平面AA1B的一个法向量为 ，
则有
令x1=1，得 ，z1=1
∴
设平面A1BC1的法向量为 ，
则有
令x2=1，则y2=0，z2=1，∴
∴
∴所求二面角的大小为

【解析】（Ⅰ）推导出A1O⊥AC，由此能证明A1O⊥平面ABC．（Ⅱ）以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣A1B﹣C1的大小．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的判定的相关知识，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．