Question

【题目】已知椭圆C： （a＞b＞0）的左焦点为F1（﹣ ，0），e= ． （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）如图，设R（x0 ， y0）是椭圆C上一动点，由原点O向圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=4引两条切线，分别交椭圆于点P，Q，若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1 ， k2 ， 求证：k1k2为定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问OP2+OQ2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意得， ，解得 ，b= = ∴椭圆方程为
（Ⅱ）由已知，直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x，且与圆R相切，
∴ ，化简得
同理 ，
∴k1 ， k2是方程 的两个不相等的实数根
∴ ，△＞0，
∵点R（x0 ， y0）在椭圆C上，所以 ，即
∴
（Ⅲ）OP2+OQ2是定值18．
设直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x， ，
联立 解得
∴
同理，得
由OP2+OQ2= + = ，
∴OP2+OQ2=
= =
=
综上：OP2+OQ2=18
【解析】（Ⅰ）由题意得，c，a，推出b，即可得到椭圆的方程．（Ⅱ）由已知，直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x，且与圆R相切，列出方程，说明k1 ， k2是方程 的两个不相等的实数根，推出 ，通过点R（x0 ， y0）在椭圆C上，化简求解即可．（Ⅲ）OP2+OQ2是定值18．设直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x，联立 解得 同理，得 ，然后计算OP2+OQ2= + 化简求解即可．