Question

【题目】已知函数.

（I）求函数的单调区间；

（II）若在上恒成立，求实数的取值范围；

（III）在（II）的条件下，对任意的，求证：.

Answer 1

【答案】（I）当时，在上单调递增，无单调递减区间，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；（II）；(III)证明见解析.

【解析】试题分析：（I）利用时为单调增函数，时为单调减函数这一性质来分情况讨论题中单调区间问题；（II）根据函数单调性与最值，若在上恒成立，则函数的最大值小于或等于零.当时，在上单调递增，，说明时，不合题意舍去.当时，的最大值小于零.但在上恒成立，所以只能等于零.令即可求得答案；（III）首先将的表达式表达出来，化简转化为的形式，再根据（II）的结论得到，后逐步化简，原命题得证.

试题解析：（I），

当时，恒成立，则函数在上单调递增，无单调递减区间；

当时，由，得，由，

得，此时的单调递增区间为，单调递减区间为.

（II）由（I）知：当时，在上递增，，显然不成立；

当时，，只需即可，

令，则，

在上单调递减，在上单调递增.

.

对恒成立，也就是对恒成立，

，解得，若在上恒成立，则.

(III)证明：，

由（II）得在上恒成立，即，当且仅当时取等号，

又由得，所以有，即.

则，

则原不等式成立. ………（12分）