Question

【题目】如图，在棱长为ɑ 的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G分别是CB．CD．CC1的中点．

（1）求直线 A1C与平面ABCD所成角的正弦的值；
（2）求证：平面A B1D1∥平面EFG．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A1C∩平面ABCD=C，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中A1A⊥平面ABCD

∴AC为A1C在平面ABCD的射影

∴∠A1CA为A1C与平面ABCD所成角 正方体的棱长为a∴AC= a，A1C= a

（2）证明：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中

连接BD，则DD1∥BB1，DD1=BB1，

∴D1DBB1为平行四边形

∴D1B1∥DB

∵E，F分别为BC，CD的中点

∴EF∥BD∴EF∥D1B1

∵EF平面GEF，D1B1平面GEF

∴D1B1∥平面GEF

同理AB1∥平面GEF

∵D1B1∩AB1=B1

∴平面AB1D1∥平面EFG．

【解析】（1）欲求直线 A1C与平面ABCD所成角的正弦的值，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由于AC为A1C在平面ABCD的射影，故∠A1CA为A1C与平面ABCD所成角，最后在直角三角形中求解即得；（2）欲证平面AB1D1∥平面EFG，根据面面平行的判定定理可知，只须证明线面平行即可．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中连接BD，则DD1∥BB1 ， DD1=BB1 ， 利用直线间的平行关系可证得：D1B1∥平面GEF及AB1∥平面GEF，从而问题解决．
【考点精析】解答此题的关键在于理解平面与平面平行的判定的相关知识，掌握判断两平面平行的方法有三种:用定义；判定定理；垂直于同一条直线的两个平面平行，以及对平面与平面垂直的判定的理解，了解一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．