Question

【题目】已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．
（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞ ﹣ 成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=xlnx，

∴f'（x）=lnx+1

当x∈（0， ），f′（x）＜0，f（x）单调递减，

当x∈（ ，+∞），f′（x）＞0，f（x）单调递增

①0＜t＜ 时，f（x）min=f（ ）=﹣ ；

② ≤t时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）min=f（t）=tlnt；

∴f（x）min=

（2）解：2f（x）≥g（x）恒成立，

∴a≤x+ +2lnx恒成立，

令h（x）=x+2lnx+ ，

则h'（x）=1+ ﹣ = ，

由h'（x）=0，得x1=﹣3，x2=1，

x∈（0，1）时，h'（x）＜0；

x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0．

∴x=1时，h（x）min=1+0+3=4．

∴a≤4．

∴实数a的取值范围是（﹣∞，4]

（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞ ﹣ 成立，

∴xlnx＞ ﹣ ，

∴f（x）＞ ﹣ ，

由（1）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是﹣ ，当且仅当x= 时取到．

设m（x）= ﹣ ，（x∈（0，+∞）），则m′（x）= ，

∵x∈（0，1）时，m′（x）＞0，

x∈（1，+∞）时，m′（x）＜0，

∴m（x）max=m（1）=﹣ ，

从而对一切x∈（0，+∞），lnx＞ ﹣ 成立

【解析】（1）求出导函数f'（x）=lnx+1，对x分别讨论，得出导函数的正负区间，根据函数单调性分别讨论t的范围，求出函数的最小值；（2）不等式整理为a≤x+ +2lnx恒成立，只需求出右式的最小值即可，构造函数h（x）=x+2lnx+ ，利用求导的方法得出函数的最小值；（3）根据不等式的形式可得f（x）＞ ﹣ ，只需使f（x）的最小值大于右式的最大值即可，构造函数m（x）= ﹣ ，利用求导得出函数的最大值．