Question

【题目】已知函数f（x）=ax+ （ab≠0）．
（1）当b=a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程是y=2x﹣3，证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=1和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求出此定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：当b=a=1时，f（x）=x+ ，

导数为f′（x）=1﹣ = ，

由f′（x）＞0，可得x＞2或x＜0；

由f′（x）＜0，可得0＜x＜1或1＜x＜2．

则f（x）的增区间为（﹣∞，0），（2，+∞）；

减区间为（0，1），（1，2）

（2）证明：函数f（x）=ax+ 的导数为f′（x）=a﹣ ，

由曲线在点（2，f（2））处的切线方程是y=2x﹣3，

可得a﹣b=2，f（2）=2a+b=1，

解得a=1，b=﹣1，

即有f（x）=x﹣ ，

在曲线上任取一点（x0，x0﹣ ）．

由f′（x0）=1+ ，

过此点的切线方程为y﹣x0+ =[1+ ]（x﹣x0），

令x=1得y= ，切线与直线x=1交点为（1， ），

令y=x得y=2x0﹣1，切线与直线y=x交点为（2x0﹣1，2x0﹣1），

直线x=1与直线y=x的交点为（1，1）．

从而所围三角形的面积为 | ﹣1||2x0﹣1﹣1|= | ||2x0﹣2|=2．

所以所围三角形的面积为定值2

【解析】（1）求出b=a=1时，函数f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意定义域；（2）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由已知切线的方程，可得a=1，b=﹣1，再设曲线上任取一点（x0 ， x0﹣ ）．求得切线的方程，令x=1，y=x求得交点，运用三角形的面积公式，化简整理，即可得到定值．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．