Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，且与直线相切.

(1)求圆的方程。

(2)在圆上，是否存在点，使得直线与圆相交于不同的两点，且△的面积最大？若存在，求出点的坐标及对应的△的面积；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) . (2)见解析.

【解析】试题分析：（1）设圆心是，由直线于圆相切可知，圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式可求，进而可求圆的方程；（2）把点代入圆的方程可得， 的方程，结合原点到直线的距离，可求的范围，根据弦长公式求出，代入三角形的面积公式，结合二次函数的性质可求最大值．

试题解析：（1）设圆心是，它到直线的距离是，解得

或 (舍去),

所以所求圆的方程是.

（2）存在，理由如下：因为点在圆上，所以，

且.

又因为原点到直线的距离，

解得，而，

所以,

因为，所以当，即时， 取得最大值，

此时点的坐标是或， 的面积的最大值是.