Question

【题目】已知函数f（x）=|x﹣1|﹣|2x+1|的最大值为m
（1）作函数f（x）的图象
（2）若a2+b2+2c2=m，求ab+2bc的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=|x﹣1|﹣|2x+1|= ，

由分段函数的图象画法可得图象如右

（2）解：由（1）知，当x=﹣ 时，f（x）的最大值为 ，即m= ；

∴a2+b2+2c2= ，

设a2+b2+2c2=a2+tb2+（1﹣t）b2+2c2≥2 ab+2 bc，

令2 ：2 =1：2，即8（1﹣t）=16t 得：t= ，

∴a2+b2+2c2=a2+ b2+ b2+2c2≥2 ab+4 bc= （ab+2bc）

∴ab+2bc≤ （a2+b2+2c2）= （当且仅当a2=c2= ，b2= 时取“=”号）

【解析】（1）讨论x的范围：x≤﹣ ，﹣ ＜x≤1，x≥1，去掉绝对值，写出分段函数的形式，画出图象；（2）通过图象可得最大值m，设a2+b2+2c2=a2+tb2+（1﹣t）b2+2c2≥2 ab+2 bc，令2 ：2 =1：2，求出t的值，即可得到所求最大值．
【考点精析】本题主要考查了绝对值不等式的解法的相关知识点，需要掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号才能正确解答此题．