Question

【题目】已知函数f（x）=lnx+1．
（Ⅰ）证明：当x＞0时，f（x）≤x；
（Ⅱ）设 ，若g（x）≥0对x＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：构造函数m（x）=f（x）﹣x=lnx+1﹣x， 得x=1；
当x∈（0，1）时，m'（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，m'（x）＜0；
∴[m（x）]max=m（1）=0；
∴m（x）≤0；
∴f（x）≤x；
（Ⅱ）若g（x）≥0对x＞0恒成立等价于 对x＞0恒成立；
记 ，问题等价于a≥G（x）max；
由（Ⅰ）知lnx+1≤x（当且仅当x=1时取得等号）；
∴ （当且仅当x=1时取得等号）；
故G（x）max=1，所以a≥1；
∴实数a的取值范围为[1，+∞）
【解析】（Ⅰ）先构造函数m（x）=lnx+1﹣x，然后求导，根据导数符号即可求出函数m（x）的最大值为0，即得到m（x）≤0，从而证得f（x）≤x；（Ⅱ）根据x＞0， 便可解得 ，而根据上面知lnx+1≤x恒成立，从而便可求得 的最大值，进而即可得出实数a的取值范围．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．