Question

【题目】已知函数，其中为自然对数的底数，常数．

（1）求函数在区间上的零点个数；

（2）函数的导数，是否存在无数个，使得为函数的极大值点？说明理由．

Answer 1

【答案】（1）1（2）存在

【解析】【试题分析】（1）对函数求导后得到函数的单调区间，利用二分法判断函数在给定区间上只有一个零点.（2）原命题等价于，存在无数个，使得成立，求得的表达式，构造为函数，利用导数证得存在负值即可.

【试题解析】

（1），当时， 单调递减；当时， 单调递增；

因为，所以存在，使，

且当时， ，当时， ．

故函数在区间上有1个零点，即．

（2）（法一）当时， ．

因为当时， ；当， ．

由（1）知，当时， ；当时， ．

下证：当时， ，即证．

，

记…

，所以在单调递增，

由，

所以存在唯一零点，使得，且时， 单调递减，

时， 单调递增．

所以当时， ．……

由，得当时， ．

故．

当时， 单调递增；

当时， 单调递减．

所以存在，使得为的极大值点．

（2）（法二）因为当时， ；当， ．

由（1）知，当时， ；当时， ．

所以存在无数个，使得为函数的极大值点，即存在无数个，使得成立， ①…由（1），问题①等价于，存在无数个，使得成立，

因为，

记…

因为，当时， ，所以在单调递增，因为，

所以存在唯一零点，使得，且当时， 单调递减；当时， 单调递增；

所以，当时， ， ②…

由，可得，代入②式可得，

当时， ，

所以，必存在，使得，即对任意有解，

所以对任意，函数存在极大值点为．…