Question

【题目】已知函数f（x）=x2+1．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）用定义法证明函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）=x2+1，

∴f（x）的定义域为R，

∵f（﹣x）=（﹣x）2+1=x2+1=f（x），

∴函数f（x）是R上的偶函数

（2）证明：在（0，+∞）上任意选取x1，x2，且x1＜x2，

f（x1）﹣f（x2）= =（x1﹣x2）（x1+x2），

∵x1＞0，x2＞0，x1＜x2，

∴x1﹣x2＜0，x1+x2＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

∴函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．

【解析】（1）求出f（x）的定义域为R，f（﹣x）=f（x），从而得到函数f（x）是R上的偶函数．（2）在（0，+∞）上任意选取x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ， 推导出f（x1）﹣f（x2）＜0，由此能证明函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．
【考点精析】利用函数单调性的判断方法和函数的奇偶性对题目进行判断即可得到答案，需要熟知单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．