Question

【题目】已知函数．

（1）求函数在点处的切线方程；

（2）求函数的单调区间；

（3）若存在，使得（是自然对数的底数），求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）单调增区间为，递减区间为；（3）.

【解析】

试题分析：（1）可得 ，又，得切线方程为；（2）求出，得增区间，得减区间；（3）存在，使得成立，等价于当时，，所以只要即可.

试题解析：（1）因为函数，

所以，

又因为，所以函数在点处的切线方程为．

（2）由（1），，

因为当时，总有在上是增函数．

又，所以不等式的解集为，

故函数的单调增区间为，递减区间为．

（3）因为存在，使得成立，

而当时，，

所以只要即可

又因为的变化情况如下表所示：

		0
		0
	减函数	极小值	增函数

所以在上是减函数，在上是增函数，所以当时，的最小值．

的最大值为和中的最大值．

因为，

令，因为，

所以在上是增函数，

而，故当时，，即；当时，，即．

所以，当时，，即，函数在上是增函数，解得；当时，，即，函数在上是减函数，解得．

综上可知，所求的取值范围为．