Question

【题目】如下图，在四棱柱中，点分别为的中点.

（1）求证： 平面；

（2）若四棱柱是长方体，且，求平面与平面所成二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）取的中点为，连结,要证线面平行，即证明平面外的线与平面内的线平行，所以证明是平行四边形，即证明；（2）以点为原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，求法向量夹角的余弦值，再求正弦值.

试题解析：（1）设的中点为，连接、.

∵为的中点，∴，且.

又∵为四棱柱的棱的中点，

∴，且，

∴四边形是平行四边形.∴.

又∵平面， 平面，∴平面.

（2）根据四棱柱是长方体，建立如图所示的空间直角坐标系，设，由已知得.

，设平面的一个法向量为，

则.

∴取，解得

∴是平面的一个法向量.

由已知容易得到是平面的一个法向量.

设平面与平面所成二面角的大小为，则.

∵，∴.

∴平面与平面所成二面角的正弦值为.