Question

【题目】已知数列{an}的前项n和为Sn ， 且3Sn=4an﹣4．又数列{bn}满足bn=log2a1+log2a2+…+log2an ．
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）若 ，求使得不等式 恒成立的实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由3Sn=4an﹣4可得a1=4，

∵3Sn=4an﹣4，∴3Sn﹣1=4an﹣1﹣4，∴3Sn﹣3Sn﹣1=4an﹣4﹣（4an﹣1﹣4），

∴3an=4an﹣4an﹣1，即 ．

∴数列{an}是首项为a1=4，公比为4的等比数列，∴ ．

又bn=log2a1+log2a2+…+log2an=2+4+…+2（n﹣1）+2n=n（n+1），

∴bn=n（n+1）

（2）解： =1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ = ，

不等式 恒成立，即k≥ 恒成立，

设dn= ，则dn+1﹣dn= ，

∴当n≥2时，数列{dn}单调递减，当1≤n＜2时，数列{dn}单调递增；

即d1＜d2＞d3＞d4＞…，

∴数列最大项为 ，∴

【解析】（1）利用再写一式，两式相减的方法求数列{an}的通项公式、利用数列{bn}满足bn=log2a1+log2a2+…+log2an ， 求出{bn}的通项公式；（2）若 ，裂项求和，不等式 恒成立，即k≥ 恒成立，即可实数k的取值范围．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能正确解答此题．