Question

【题目】已知抛物线的顶点为原点，焦点为圆的圆心.经过点的直线交抛物线于两点，交圆于两点， 在第一象限， 在第四象限.

（1）求抛物线的方程；

（2）是否存在直线，使是与的等差中项？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】试题分析：（1）根据圆的圆心为抛物线的焦点，可求得 ，即可求得抛物线方程；（2）若是等差中项，那么 ，那么 ，再根据抛物线的焦点弦长可知 ，将问题转化为根与系数的关系，求出直线方程.

试题解析：（1）根据已知设抛物线的方程为.

∵圆的方程为，

∴圆心的坐标为，半径.

∴，解得.

∴抛物线的方程为.

（2）∵是与的等差中项，∴.

∴.

若垂直于轴，则的方程为，代入，得.

此时，即直线不满足题意.

若不垂直于轴，设的斜率为，由已知得， 的方程为.

设，由得.

∴.

∵抛物线的准线为，

∴，

∴，解得.

当时， 化为，

∵，∴有两个不相等实数根.

∴满足题意，即直线满足题意.

∴存在满足要求的直线，它的方程为或.