Question

【题目】已知定义在区间上的函数，其中常数．

（1）若函数分别在区间上单调，试求的取值范围；

（2）当时，方程有四个不相等的实根．

①证明： ；

②是否存在实数，使得函数在区间单调，且的取值范围为，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) (2)见解析，

【解析】试题分析：（1）结合对勾函数的特征，即可知,从而求出参数范围；（2）当时，方程即为或，由韦达定理可证明．结合函数图像及其单调性，分类讨论分别在四个单调区间内去求解，最后求并集即可．

试题解析：（1）设

∵∴函数分别在区间上单调 且

要使函数分别在区间上单调

则只需

（2）①当时， 或

即或

∵为方程的四个不相等的实根

∴由根与系数的关系得

②如图，可知， 在、、、均为单调函数

（Ⅰ）当时， 在上单调递减

则两式相除整理得

∵∴上式不成立 即无解， 无取值 10分

（Ⅱ）当时， 在上单调递增

则即在有两个不等实根

而令则

作在的图像可知， 12分

（Ⅲ）当时， 在上单调递减

则两式相除整理得

∴∴∴

由得

则关于的函数是单调的，而应有两个不同的解

∴此种情况无解

（Ⅳ）当时，同（Ⅰ）可以解得无取值

综上， 的取值范围为