Question

【题目】已知二次函数满足（），且.

（1）求的解析式；

（2）若关于的方程在区间上有唯一实数根，求实数的取值范围（注：相等的实数根算一个）.

（3）函数，试问是否存在实数，使得对任意， 都有成立，若存在，求出实数的取值范围，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ；(3)答案见解析.

【解析】试题分析：（1）设（），代入条件化简并根据恒等式成立条件得， ， ，（2）研究二次方程根的情况，往往结合二次函数图像，即转化为研究直线与二次函数交点个数，作出图像，根据图像得实数的取值范围（3）先将不等式恒成立问题转化为对应函数最值： ，再根据二次函数对称轴与定义区间位置关系，分类讨论函数最值，解对应不等式，可得实数的取值范围

试题解析：（1）设（）

代入得对于恒成立，故

又由得，解得， ， ，

所以

（2）由方程得，令， ，

即要求函数在上有唯一的零点，

①，则，代入原方程得或，不合题意；

②若，则，代入原方程得或，满足题意，故成立；

③若，则，代入原方程得，满足题意，故成立.

④若且且时，由得.

综上，实数的取值范围是.

解法2：由方程得，即直线与函数， 的图象有且只有一个交点（参照给分）

（3）由题意知

假设存在实数满足条件，对任意， 都有成立，即，故有，

由，

①当时， 在上为增函数， ，所以

②当时，

，即

解得，所以.

③当时，

即解得，所以

③当时，

即，所以

综上所述，

所以当时，使得对任意， 都有成立