Question

【题目】已知关于x的不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，记实数m的最大值为M．
（1）求M的值；
（2）正数a，b，c满足a+2b+c=M，求证： + ≥1．

Answer 1

【答案】
（1）解：由绝对值不等式得|x﹣2|﹣|x+3|≥≤|x﹣2﹣（x+3）|=5，

若不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，

则满足|m+1|≤5，解得﹣6≤m≤4．

∴M=4．

（2）解：由（1）知正数a，b，c满足足a+2b+c=4，即 [（a+b）+（b+c）]=1

∴ + = [（a+b）+（b+c）]（ + ）= （1+1+ + ）≥ （2+2 ）≥ ×4=1，

当且仅当 = 即a+b=b+c=2，即a=c，a+b=2时，取等号．

∴ + ≥1成立

【解析】（1）根据绝对值不等式的性质进行转化求解．（2）利用1的代换，结合基本不等式的性质进行证明即可．