Question

【题目】选修4-4，坐标系与参数方程

已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）求直线的直角坐标方程；

（2）设M（x，y）为椭圆C上任意一点，求|x+y﹣1|的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）9

【解析】试题分析：（1）根据 将直线极坐标方程化为直角坐标方程，（2）根据椭圆参数方程化简|x+y﹣1|，再根据三角函数有界性以及绝对值定义确定函数最大值.

试题解析：（1）根据题意，椭圆C的方程为+=1，

则其参数方程为，（α为参数）；

直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=3，变形可得ρsinθcos+ρcosθsin=3，

即ρsinθ+ρcosθ=3，,将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得x+y﹣6=0，

即直线l的普通方程为x+y﹣6=0；

（2）根据题意，M（x，y）为椭圆一点，则设M（2cosθ，4sinθ），

|2x+y﹣1|=|4cosθ+4sinθ﹣1|=|8sin（θ+）﹣1|，

分析可得，当sin（θ+）=﹣1时，|2x+y﹣1|取得最大值9．