Question

【题目】设函数， (a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数．

(Ⅰ) 求的值

（Ⅱ）若，试求不等式的解集；

（Ⅲ）若，且，求在上的最小值。

Answer 1

【答案】(1) k＝1;(2) ;(3)-2.

【解析】试题分析：（1）由奇函数定义得f（0）=0，解出即可；

（2）由f（1）＞0易知a＞1，从而可判断f（x）的单调性，由函数单调性、奇偶性可把不等式转化为具体不等式，解出即可；

（3）由f（1）=可求得a值，g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2，令t=f（x）=2x﹣2﹣x，g（x）可化为关于t的二次函数，分情况讨论其最小值，令最小值为﹣2，解出即可；

试题解析：

(Ⅰ)　∵f(x)是定义域为R的奇函数，

∴f(0)＝0，∴k－1＝0，∴.

（Ⅱ）∵f(1)>0，∴a－>0.又a>0且a≠1，∴a>1.∵k＝1，∴f(x)＝ax－a－x.

当a>1时，y＝ax和y＝－a－x在R上均为增函数，

∴f(x)在R上为增函数．原不等式可化为f(x2＋2x)>f(4－x)，

∴x2＋2x>4－x，即x2＋3x－4>0.∴x>1或x<－4.

∴不等式的解集为{x|x>1或x<－4}．

（Ⅲ）∵f(1)＝，∴a－＝，即2a2－3a－2＝0.∴a＝2或a＝－ (舍去)．

∴g(x)＝22x＋2－2x－4(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－4(2x－2－x)＋2.

令t＝h(x)＝2x－2－x(x≥1)，则g(t)＝t2－4t＋2.

∵t＝h(x)在[1，＋∞)上为增函数(由(1)可知)，

∴h(x)≥h(1)＝，即t≥.∵g(t)＝t2－4t＋2＝(t－2)2－2，t∈[，＋∞)，

∴当t＝2时，g(t)取得最小值－2，即g(x)取得最小值－2，此时x＝log2(1＋)．

故当x＝log2(1＋)时，g(x)有最小值－2.