Question

【题目】在四棱锥中， 为正三角形，四边形为矩形，平面 平面， ， 分别为的中点。

（Ⅰ）求证： //平面；

（Ⅱ）求二面角的大小。

Answer 1

【答案】(1)详见解析;(2) .

【解析】试题分析：（Ⅰ）MN是△ABC的中位线，可得MN∥BC∥AD，即可证以MN∥平面PAD．

（Ⅱ）过点P作PO垂直于AB，交AB于点O，因为平面PAB⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，如图建立空间直角坐标系设AB=2，则A（-1,0，0），C（1,1，0）,M（,0， ）,B（1,0，0），N（,， ），利用向量法求解．

试题解析：

（Ⅰ）证明：∵M，N分别是PB，PC中点

∴MN是△ABC的中位线 ∴MN∥BC∥AD

又∵AD平面PAD，MN平面PAD

所以MN∥平面PAD.

(Ⅱ)过点P作PO垂直于AB，交AB于点O，

因为平面PAB⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，

如图建立空间直角坐标系

设AB=2，则A（-1,0，0），C（1,1，0）,M（,0， ）,

B（1,0，0），N（,， ），则，

设平面CAM法向量为，由 可得

，令，则，即

平面法向量

所以，二面角的余弦值

因为二面角是锐二面角，

所以二面角等于