Question

【题目】已知定义在R上的函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x＞0，A＞0）的图象如图所示．

（1）求函数f（x）的解析式；
（2）写出函数f（x）的单调递增区间
（3）设不相等的实数，x1 ， x2∈（0，π），且f（x1）=f（x2）=﹣2，求x1+x2的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由函数f（x）的图象可得A=4，

又∵函数的周期T=2（ ﹣ ）=π，

∴ω═ =2，

∵函数图象经过点P（ ，4），即：4sin（2× +φ）=4，

∴利用五点作图法可得：2× +φ= ，求得：φ= ，

∴函数的表达式为：

（2）解：由2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，可得：kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，k∈Z，

可得函数f（x）的单调递增区间为：

（3）解：∵x∈（0，π），

∴2x+ ∈（ ， ），

又∵f（x）=﹣2，可得：sin（2x+ ）=﹣ ，

∴2x+ = 或 ，解得：x= 或 ，

∴x1+x2=

【解析】（1）根据函数的最值得到A，再由函数的周期为2（ ﹣ ）=π，结合周期公式得到ω的值，再根据函数的最大值对应的x值，代入并解之得φ，从而得到函数的表达式．（2）由2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，可解得f（x）的单调递增区间．（3）由题意可得2x+ ∈（ ， ），又f（x）=﹣2，可得：sin（2x+ ）=﹣ ，进而解得符合条件的不相等的2个实数解，即可得解．