Question

【题目】给定椭圆C： （a＞b＞0）．称圆心在原点O，半径为 的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F（ ，0），其短轴上的一个端点到点F的距离为 ．
（1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；
（2）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过动点P作直线l1 ， l2 ， 使得l1 ， l2与椭圆C都只有一个交点，试判断l1 ， l2是否垂直，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可得，c= ， =a= ，

则b2=a2﹣c2=1，

则椭圆C的方程为 +y2=1．

其“准圆”方程为x2+y2=4

（2）解：①设P（± ，±1），则过P的直线l1：x=± ，

则l2的斜率k≠0，即它们不垂直；

②设P（m，n）（m≠± ），m2+n2=4，过P的直线为y﹣n=k（x﹣m），

联立椭圆方程，消去y，得到

（1+3k2）x2+6k（n﹣km）x+3（n﹣km）2﹣3=0，

由于直线与椭圆C都只有一个交点，则△=0，

即36k2（n﹣km）2﹣4（1+3k2）3[（n﹣km）2﹣1]=0，

化简得，（3﹣m2）k2+2kmn+1﹣n2=0，

k1k2= = =﹣1．

即l1，l2垂直．

综上，当P在直线x= 上时，l1，l2不垂直；

当P不在直线x= 上时，l1，l2垂直

【解析】（1）由题意可得，c= ，a= ，则b2=a2﹣c2=1，从而得到椭圆方程和其“准圆”方程；（2）讨论当P在直线x= 上时，显然不垂直；当P不在直线x= 上时，设出直线方程，联立椭圆方程，消去y，得到关于x的方程，运用判别式为0，化简整理，得到关于k的方程，求出两根之积，判断是否为﹣1，即可判断
l1 ， l2垂直．
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能正确解答此题．