Question

【题目】已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，若方程有两个相异实根，且，证明： .

Answer 1

【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.

【解析】试题分析：（1）对原函数求导，根据导函数的正负得到函数的单调区间。（2）由条件知的两个相异实根分别为，构造函数，研究函数的单调性，得函数递减，由题意可知，故，所以，这样就将化到了同一个单调区间上去，直接研究函数和0的关系即可,最终根据的单调性可以得到结果。

解析：（1）因为，

函数的定义域为，

因为，当，即时， 对恒成立

所以在上是增函数，

当，即时，由得或，

则在， 上递增

在上递减；

（2）设的两个相异实根分别为，满足，

且，

令的导函数，

所以在上递减，由题意可知，

故，所以，令，

令，

则，

当时， ，所以是减函数，

所以，

所以当时， ，

因为， 在上单调递增，

所以，故，

综上所述， .