Question

【题目】如图，在正方体中， 是的中心， 分别是线段上的动点，且， ．

（Ⅰ）若直线平面，求实数的值；

（Ⅱ）若，正方体的棱长为2，求平面和平面所成二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】试题分析：（Ⅰ）取的中点，连，由直线平面可证得，根据平行线分线段成比例定理可得，即，得到；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量、平面的法向量，利用向量的夹角求解即可。

试题解析：

（Ⅰ）取的中点，

∵是正的中心

∴点在上，且，

连,

∵平面,平面平面,

∴

∴,

∴,

∴.

（Ⅱ）当时，点分别是的中点，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则。

设平面的一个法向量为，

由，

得 ，令，得。

同理可得平面的一个法向量为

∴.

由图形知，平面和平面所成二面角为锐角，

∴平面和平面所成二面角的余弦值为。