Question

【题目】在直角坐标系中，曲线C的参数方程： ，直线l的参数方程为 ．
（1）若直线l与曲线C只有一个公共点，求实数a；
（2）若点P，Q分别为直线l与曲线C上的动点，若 ，求实数a．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵曲线C的参数方程： ，

∴曲线C的普通方程为 =1，

∵直线l的参数方程为 ，

∴直线l的普通方程为x+2y﹣a﹣2=0，

联立 ，得16y2﹣（12a+24）y+3a2+12a=0，

∵直线l与曲线C只有一个公共点，

∴△=[﹣（12a+24）]2﹣4×16×（3a2+12a）=﹣a2﹣4a+12=0，

解得a=2或a=﹣6

（2）解：设Q（2cosθ， ），

点Q到直线l的距离d= = |4sin（ ）﹣a﹣2|，

∵点P，Q分别为直线l与曲线C上的动点， ，

∴当sin（ ）=1时，|PQ|min= |2﹣a|= ，

解得a=1或a=3

【解析】（1）由曲线C的参数方程求出曲线C的普通方程为 =1，由直线l的参数方程求出直线l的普通方程为x+2y﹣a﹣2=0，联立 ，得16y2﹣（12a+24）y+3a2+12a=0，由直线l与曲线C只有一个公共点，利用根的判别式为0，能求出a．（2）设Q（2cosθ， ），求出点Q到直线l的距离d= |4sin（ ）﹣a﹣2|，由题意知当sin（ ）=1时，|PQ|min= |2﹣a|= ，由此能求出a．