Question

【题目】已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1 ， F2 ， 点 为短轴的一个端点，∠OF2B=60°．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）如图，过右焦点F2 ， 且斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于D，E两点，A为椭圆的右顶点，直线AE，AD分别交直线x=3于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k′．试问kk′是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）由条件可知 ，故所求椭圆方程为 ．（2）设过点F2（1，0）的直线l方程为：y=k（x﹣1）．
由 可得：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0
因为点F2（1，0）在椭圆内，所以直线l和椭圆都相交，即△＞0恒成立．
设点E（x1 ， y1），D（x2 ， y2），
则 ．
因为直线AE的方程为： ，直线AD的方程为： ，
令x=3，可得 ， ，所以点P的坐标 ．
直线PF2的斜率为 = = = =
= ，
所以kk'为定值 ．

【解析】（1）由条件可知 ，故求的椭圆方程．（2）设过点F2（1，0）的直线l方程为：y=k（x﹣1）．由 可得：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．因为直线AE的方程为： ，直线AD的方程为： ，从而列式求解即可．