Question

【题目】已知函数f（x）= ，
（1）若a=﹣1，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）有最大值3，求a的值．
（3）若f（x）的值域是（0，+∞），求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=﹣1时，f（x）= ，

令g（x）=﹣x2﹣4x+3，

由于g（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，+∞）上单调递减，

而y= t在R上单调递减，

所以f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上 单调递增，

即函数f（ x）的递增区间是（﹣2，+∞），递减区间是（﹣∞，﹣2 ）

（2）解：令h（x）=ax2﹣4x+3，y= h（x），由于f（x）有最大值3，

所以 h（x）应有最小值﹣1，

因此 =﹣1，

解得a=1．

即当f（x）有最大值3时，a的值等于1

（3）解：由指数函数的性质知，

要使y=h（x）的值域为（0，+∞）．

应使h（x）=ax2﹣4x+3的值域为R，

因此只能有a=0．

因为若a≠0，则h（x）为二次函数，其值域不可能为R．

故 a的取值范围是{0}

【解析】（1）当a=﹣1时，f（x）= ，令g（x）=﹣x2﹣4x+3，结合指数函数的单调性，二次函数的单调性和复合函数的单调性，可得f（x）的单调区间；（2）令h（x）=ax2﹣4x+3，y=h（x） ， 由于f（x）有最大值3，所以 h（x）应有最小值﹣1，进而可得a的值．（3）由指数函数的性质知，要使y=h（x）的值域为（0，+∞）．应使h（x）=ax2﹣4x+3的值域为R ， 进而可得a的取值范围．