Question

【题目】设{an}和{bn}是两个等差数列，记cn=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，bn﹣ann}（n=1，2，3，…），其中max{x1 ， x2 ， …，xs}表示x1 ， x2 ， …，xs这s个数中最大的数．（13分）
（1）若an=n，bn=2n﹣1，求c1 ， c2 ， c3的值，并证明{cn}是等差数列；
（2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时， ＞M；或者存在正整数m，使得cm ， cm+1 ， cm+2 ， …是等差数列．

Answer 1

【答案】
（1）

解： a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，

当n=1时，c1=max{b1﹣a1}=max{0}=0，

当n=2时，c2=max{b1﹣2a1，b2﹣2a2}=max{﹣1，﹣1}=﹣1，

当n=3时，c3=max{b1﹣3a1，b2﹣3a2，b3﹣3a3}=max{﹣2，﹣3，﹣4}=﹣2，

下面证明：对n∈N*，且n≥2，都有cn=b1﹣na1，

当n∈N*，且2≤k≤n时，

则（bk﹣nak）﹣（b1﹣na1），

=[（2k﹣1）﹣nk]﹣1+n，

=（2k﹣2）﹣n（k﹣1），

=（k﹣1）（2﹣n），由k﹣1＞0，且2﹣n≤0，

则（bk﹣nak）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥bk﹣nak，

因此，对n∈N*，且n≥2，cn=b1﹣na1=1﹣n，

cn+1﹣cn=﹣1，

∴c2﹣c1=﹣1，

∴cn+1﹣cn=﹣1对n∈N*均成立，

∴数列{cn}是等差数列；

（2）

证明：设数列{an}和{bn}的公差分别为d1，d2，下面考虑的cn取值，

由b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，bn﹣ann，

考虑其中任意bi﹣ain，（i∈N*，且1≤i≤n），

则bi﹣ain=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n，

=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），

下面分d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论，

①若d1=0，则bi﹣ain═（b1﹣a1n）+（i﹣1）d2，

当若d2≤0，则（bi﹣ain）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）d2≤0，

则对于给定的正整数n而言，cn=b1﹣a1n，此时cn+1﹣cn=﹣a1，

∴数列{cn}是等差数列；

当d1＞0，（bi﹣ain）﹣（bn﹣ann）=（i﹣1）d2≤0，

则对于给定的正整数n而言，cn=bn﹣ann=bn﹣a1n，

此时cn+1﹣cn=d2﹣a1，

∴数列{cn}是等差数列；

此时取m=1，则c1，c2，…，是等差数列，命题成立；

②若d1＞0，则此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数，

故必存在m∈N*，使得n≥m时，﹣d1n+d2＜0，

则当n≥m时，（bi﹣ain）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i≤n），

因此当n≥m时，cn=b1﹣a1n，

此时cn+1﹣cn=﹣a1，故数列{cn}从第m项开始为等差数列，命题成立；

③若d1＜0，此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为正数的一次函数，

故必存在s∈N*，使得n≥s时，﹣d1n+d2＞0，

则当n≥s时，（bi﹣ain）﹣（bn﹣ann）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i≤n），

因此，当n≥s时，cn=bn﹣ann，

此时= =﹣an+ ，

=﹣d2n+（d1﹣a1+d2）+ ，

令﹣d1=A＞0，d1﹣a1+d2=B，b1﹣d2=C，

下面证明： =An+B+ 对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m， ＞M，

若C≥0，取m=[ +1]，[x]表示不大于x的最大整数，

当n≥m时， ≥An+B≥Am+B=A[ +1]+B＞A +B=M，

此时命题成立；

若C＜0，取m=[ ]+1，

当n≥m时，

≥An+B+ ≥Am+B+C＞A +B+C ≥M﹣C﹣B+B+C=M，

此时命题成立，

因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时， ＞M；

综合以上三种情况，命题得证．

【解析】（1.）分别求得a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，代入即可求得c1 ， c2 ， c3；由（bk﹣nak）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥bk﹣nak ， 则cn=b1﹣na1=1﹣n，cn+1﹣cn=﹣1对n∈N*均成立；
（2.）由bi﹣ain=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），分类讨论d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论根据等差数列的性质，即可求得使得cm ， cm+1 ， cm+2 ， …是等差数列；设 =An+B+ 对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m， ＞M，分类讨论，采用放缩法即可求得因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时， ＞M．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用等差关系的确定的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么这个数列就叫做等差数列．