Question

【题目】对于给定的正整数k，若数列{an}满足：an﹣k+an﹣k+1+…+an﹣1+an+1+…an+k﹣1+an+k=2kan对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{an}是“P（k）数列”．
（Ⅰ）证明：等差数列{an}是“P（3）数列”；
（Ⅱ）若数列{an}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{an}是等差数列．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：设等差数列{an}首项为a1 ， 公差为d，则an=a1+（n﹣1）d，
则an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3 ，
=（an﹣3+an+3）+（an﹣2+an+2）+（an﹣1+an+1），
=2an+2an+2an ，
=2×3an ，
∴等差数列{an}是“P（3）数列”；
（Ⅱ）证明：由数列{an}是“P（2）数列”则an﹣2+an﹣1+an+1+an+2=4an ， ①
数列{an}是“P（3）数列”an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=6an ， ②
由①可知：an﹣3+an﹣2+an+an+1=4an﹣1 ， ③
an﹣1+an+an+2+an+3=4an+1 ， ④
由②﹣（③+④）：﹣2an=6an﹣4an﹣1﹣4an+1 ，
整理得：2an=an﹣1+an+1 ，
∴数列{an}是等差数列．
【解析】（Ⅰ）由题意可知根据等差数列的性质，an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=（an﹣3+an+3）+（an﹣2+an+2）+（an﹣1+an+1）═2×3an ， 根据“P（k）数列”的定义，可得数列{an}是“P（3）数列”；
（Ⅱ）由“P（k）数列”的定义，则an﹣2+an﹣1+an+1+an+2=4an ， an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=6an ， 变形整理即可求得2an=an﹣1+an+1 ， 即可证明数列{an}是等差数列．
【考点精析】本题主要考查了等差数列的通项公式（及其变式）和等差关系的确定的相关知识点，需要掌握通项公式：或；如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么这个数列就叫做等差数列才能正确解答此题．