Question

【题目】已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0，且直线l与圆C交于A、B两点．
（1）若|AB|= ，求直线l的倾斜角；
（2）若点P（1，1），满足2 = ，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由于半径r= ，|AB|= ，∴弦心距d= ，

再由点到直线的距离公式可得d= = ，

解得m=± ．

故直线的斜率等于± ，故直线的倾斜角等于 或

（2）解：设点A（x1，mx1﹣m+1），点B（x2，mx2﹣m+1 ），

由题意2 = ，可得 2（1﹣x1，﹣mx1+m ）=（x2﹣1，mx2﹣m ），

∴2﹣2x1=x2﹣1，即2x1+x2=3． ①

再把直线方程 y﹣1=m（x﹣1）代入圆C：x2+（y﹣1）2=5，化简可得 （1+m2）x2﹣2m2x+m2﹣5=0，

由根与系数的关系可得x1+x2= ②．

由①②解得x1= ，故点A的坐标为（ ， ）．

把点A的坐标代入圆C的方程可得m2=1，故m=±1，

故直线L的方程为x﹣y=0，或x+y﹣2=0．

【解析】（1）求出弦心距、利用点到直线的距离公式可得直线的斜率，即可求直线l的倾斜角；（2）设点A（x1 ， mx1﹣m+1），点B（x2 ， mx2﹣m+1 ），由题意2 = ，可得2x1+x2=3． ①再把直线方程 y﹣1=m（x﹣1）代入圆C，化简可得x1+x2= ②，由①②解得点A的坐标，把点A的坐标代入圆C的方程求得m的值，从而求得直线L的方程．