Question

【题目】如图所示的几何体中，四边形为等腰梯形， ∥， ， ，四边形为正方形，平面平面.

（Ⅰ）若点是棱的中点，求证： ∥平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）在线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）（3）见解析

【解析】试题分析: （1）由// ，且，故四边形为平行四边形,所以// .所以//平面; （2）因为平面平面，所以平面. 在△中，由余弦定理，得，所以, 如图,以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间坐标系,写出各点坐标,求出平面的法向量,根据线面角公式求值即可; （3）假设线段上存在点，设，分别求出两个平面的法向量,令数量积为0,方程无解,故不存在.

试题解析:（Ⅰ）证明：由已知得// ，且.

因为为等腰梯形，所以有// .

因为是棱的中点，所以．

所以// ，且，

故四边形为平行四边形,

所以// .

因为平面， 平面，

所以//平面．　　　　　　　　　　　　　　　　　　

解：（Ⅱ）因为四边形为正方形，所以.

因为平面平面，

平面平面，

平面，

所以平面.

在△中，因为， ，

所以由余弦定理，得，

所以．

在等腰梯形中，可得.

如图,以为原点，以所在直线分别为轴，

建立空间坐标系，

则， ， ， ， ，

所以， ， .

设平面的法向量为，由

所以，取，则，得．

设直线与平面所成的角为，

则，

所以与平面所成的角的正弦值为.　　　　　　　　　

（Ⅲ）线段上不存在点，使平面 平面．证明如下：

假设线段上存在点，设，

则．

设平面的法向量为，由

所以，

取，则，得．

要使平面平面，只需，

即， 此方程无解．

所以线段上不存在点，使平面 平面．