Question

【题目】已知函数f（x）=ax+ 的图象经过点A（1，1），B（2，﹣1）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性并用定义证明；
（3）求f（x）在区间[ ，1]上的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）的图象过A（1，1）、B（2，﹣1），

∴ ，解得 ，

∴

（2）证明：设任意x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，

f（x1）﹣f（x2）=（﹣x1+ ）﹣（﹣x2+ ）

=（x2﹣x1）+ =

由x1，x2∈（0，+∞）得，x1x2＞0，x1x2+2＞0．

由x1＜x2得，x2﹣x1＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），

∴函数 在（0，+∞）上为减函数

（3）解：由（2）知，函数 在[ ，1]上为减函数，

∴f（x）min=f（1）=1， ，

∴f（x）的值域是

【解析】（1）将点A、B的坐标代入解析式列出方程，求出a、b的值，即可求出f（x）；（2）利用定义法证明函数单调性步骤：取值、作差、变形、定号、下结论进行证明；（3）由（2）判断f（x）在[ ，1]上的单调性，由单调性求出最值，即可得到f（x）的值域．