Question

【题目】设函数.

（1）当时，试求的单调增区间；

（2）试求在上的最大值；

（3）当时，求证：对于恒成立.

Answer 1

【答案】(1) ;(2)详见解析; （3）详见解析.

【解析】试题分析：（1）当时， ， ，当，得，所以的单调增区间为；（2）， ，得，讨论， ， ，利用函数在区间上的单调性可以求出函数在上的最大值；（3）当时，设函数，则问题转化为证明对于， ，利用导数研究函数在区间的单调性，从而证明成立，于是问题得证.

试题解析：(1)由，得.当时， ，令，得.所以的单调增区间为.

(2)令，得，所以当时， 时， 恒成立， 单调递增；当时， 时， 恒成立， 单调递减；当时， 时， ， 单调递减； 时， ， 单调递增，综上，无论为何值，当时， 最大值都为或. ，

，所以当

时， ，

当时， .

（3）令，所以，所以，令，

解得，所以当时， 单调递减；当时， 单调递增，所以当时， ，所以函数在上单调递增，所以，所以恒成立.