Question

【题目】设S表示所有大于﹣1的实数构成的集合，确定所有的函数：S→S，满足以下两个条件：
对于S内的所有x和y，f（x+f（y）+xf（y））=y+f（x）+yf（x）；在区间﹣1＜x＜0与x＞0的每一个内， 是严格递增的．求满足上述条件的函数的方程．

Answer 1

【答案】解：令y=x得f（x+f（x）+xf（x））=x+f（x）+xf（x），
令x+f（x）+xf（x）=c，则f（c）=c，
带入（1）得f（2c+c2）=2c+c2 ． ∵2+c＞2+（﹣1）=1，∴2c+c2=c（2+c）与c同号．
若c＞0，则2c+c2＞c，但 ，与 在x＞0时严格递增相矛盾，
若c＜0，同样导出矛盾，
∴c=0，从而对一切x∈S有x+f（x）+xf（x）=0，
∴
【解析】令y=x可得f（x+f（x）+xf（x））=x+f（x）+xf（x），令x+f（x）+xf（x）=c，则f（c）=c，代入（1）可得f（2c+c2）=2c+c2 ． 对c的符号进行讨论得出c=0即x+f（x）+xf（x）=0，从而得出f（x）的解析式．