Question

【题目】已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，点是，的交点，若是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

设∠F1PF2＝θ，则，得出，利用椭圆和双曲线的焦点三角形的面积公式可得出，结合c＝2，可得出，然后将椭圆和双曲线的方程联立，求出交点P的横坐标，利用该点的横坐标位于区间（﹣c，c），得出，可得出，从而得出椭圆C1的离心率e的取值范围．

解：设∠F1PF2＝θ，则，所以，，则，

由焦点三角形的面积公式可得，所以，，

双曲线的焦距为4，椭圆的半焦距为c＝2，则b2＝a2﹣c2＝a2﹣4＞3，

得，所以，椭圆C1的离心率．

联立椭圆C1和双曲线C2的方程，

得，得，

由于△PF1F2为锐角三角形，则点P的横坐标，则，所以，．

因此，椭圆C1离心率e的取值范围是．

故选：C．