Question

【题目】如图，在直角△ABC中，AB⊥BC，D为BC边上异于B、C的一点，以AB为直径作⊙O，并分别交AC，AD于点E，F．
（Ⅰ）证明：C，E，F，D四点共圆；
（Ⅱ）若D为BC的中点，且AF=3，FD=1，求AE的长．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：连结EF，BE，则∠ABE=∠AFE，因为AB是⊙O是直径， 所以，AE⊥BE，又因为AB⊥BC，∠ABE=∠C，
所以∠AFE=∠C，即∠EFD+∠C=180°，
∴C，E，F，D四点共圆．
（Ⅱ）解：因为AB⊥BC，AB是直径，
所以，BC是圆的切线，DB2=DFDA=4，即BD=2，
所以，AB= =2 ，
因为D为BC的中点，所以BC=4，AC= =2 ，
因为C、E、F、D四点共圆，所以AEAC=AFAD，

即2 AE=12，即AE=
【解析】（Ⅰ）连结EF，BE，说明AB是⊙O是直径，推出∠ABE=∠C，然后证明C，E，F，D四点共圆．（Ⅱ）利用切割线定理求解BD，利用C、E、F、D四点共圆，得到AEAC=AFAD，然后求解AE．