Question

【题目】设为数列的前项和，对任意的，都有（为正常数）.

（1）求证：数列是等比数列；

（2）数列满足，，求数列的通项公式；

（3）在满足（2）的条件下，求数列的前项和.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）利用与之间的关系，对分两种情况讨论，时，求的值，时，利用得出与之间的关系，进而利用定义证明数列为等比数列；

（2）在（1）的条件下求出的值，然后根据数列的递推公式的结构利用倒数法得到数列为等差数列，通过求处等差数列的通项公式求出数列的通项公式；（3）利用（2）中数列的通项公式，并根据数列的通项公式的结构选择错位相减法求数列的前项和.

试题解析：（1）证明：当时，，解得． 1分

当时，．即． 2分

又为常数，且，∴． 3分

∴数列是首项为1，公比为的等比数列． 4分

（2） 5分 ∵，∴，即． 7分

∴是首项为，公差为1的等差数列． 8分

∴，即． 9分

（3）由（2）知，则．

所以， 10分

即， ① 11分

则， ② 12分

②－①得， 13分

故． 14分