Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，若在区间上的最小值为，求的取值范围；

（Ⅲ）若对任意，有恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）把a=1代入函数解析式，求导后求出f′（1），同时求出f（1），由点斜式写出切线方程；
（Ⅱ）求出函数的定义域，求出原函数的导函数，进一步求出导函数的零点，分和三种情况讨论三种情况讨论原函数的单调性，由f（x）在区间[1，e]上的最小值为-2求解的取值范围；
（Ⅲ）构造辅助函数g（x）=f（x）+2x，问题转化为函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，求解的范围．把函数g（x）求导后分 =0和≠0讨论， ≠0时借助于二次函数过定点及对称轴列式求解．

试题解析：

（1）由，则

，所以切线方程为

（2）

令

当时， 在上单调递增，

当时， 在上单调递减， （舍）

当时， 在上单调递减， 在上单调递增， （舍）

综上，

（3）令

令，只要在上单调递增即可.

在上恒成立.

在上恒成立.

当时， 恒成立；

当时，原不等式

当时，原不等式，左边无最大值，不合题意（舍）

综上， .