Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．
（1）求证：PC⊥BC；
（2）求点A到平面PBC的距离．

Answer 1

【答案】
（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PD⊥BC．

由∠BCD=90°，得CD⊥BC，

又PD∩DC=D，PD、DC平面PCD，

所以BC⊥平面PCD．

因为PC平面PCD，故PC⊥BC．

（2）解：（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：

易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等．

又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍．

由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，

因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F．

易知DF= ，故点A到平面PBC的距离等于 ．

（方法二）等体积法：连接AC．设点A到平面PBC的距离为h．

因为AB∥DC，∠BCD=90°，所以∠ABC=90°．

从而AB=2，BC=1，得△ABC的面积S△ABC=1．

由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P﹣ABC的体积 ．

因为PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC．

又PD=DC=1，所以 ．

由PC⊥BC，BC=1，得△PBC的面积 ．

由VA﹣PBC=VP﹣ABC， ，得 ，

故点A到平面PBC的距离等于 ．

【解析】（1），要证明PC⊥BC，可以转化为证明BC垂直于PC所在的平面，由PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°，容易证明BC⊥平面PCD，从而得证；（2），有两种方法可以求点A到平面PBC的距离： 方法一，注意到第一问证明的结论，取AB的中点E，容易证明DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等，而A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍，由第一问证明的结论知平面PBC⊥平面PCD，交线是PC，所以只求D到PC的距离即可，在等腰直角三角形PDC中易求；
方法二，等体积法：连接AC，则三棱锥P﹣ACB与三棱锥A﹣PBC体积相等，而三棱锥P﹣ACB体积易求，三棱锥A﹣PBC的地面PBC的面积易求，其高即为点A到平面PBC的距离，设为h，则利用体积相等即求．