Question

【题目】设椭圆C： =1（α＞b＞0）经过点（ ， ），且原点、焦点，短轴的端点构成等腰直角三角形．
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线（切线斜率存在）与椭圆C恒有两个交点A，B．且 ？若存在，求出该圆的方程，若不存在说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵原点、焦点，短轴的端点构成等腰直角三角形，∴b=c，

∵椭圆C： =1（α＞b＞0）经过点（ ， ），∴ =1，

联立 ，解得b=c=2，a2=8．

∴椭圆E的方程为 =1

（2）解：假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线（切线斜率存在）与椭圆C恒有两个交点A，B．且 ．

设圆的方程为：x2+y2=r2，（0＜r＜2）．

设圆的切线为y=kx+m，则 =r，A（x1，y1），B（x2，y2）．

联立 ，化为：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，

△≥0，可得：9k2+4≥m2．

x1+x2= ，x1x2= ．

∵ ，∴ =x1x2+y1y2=0．

∴（1+k2）x1x2+mk（x1+x2）+m2=0，

∴ ﹣ +m2=0，

化为：3m2=8+8k2，与 =r联立，

可得r2= = = ＜4，

因此假设成立，存在圆心在原点的圆，方程为x2+y2= ，使得该圆的任意一条切线（切线斜率存在）与椭圆C恒有两个交点A，B，且

【解析】（1）由原点、焦点，短轴的端点构成等腰直角三角形，可得b=c．由椭圆C： =1（α＞b＞0）经过点（ ， ），可得 =1，与a2=b2+c2联立即可得出．（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线（切线斜率存在）与椭圆C恒有两个交点A，B．且 ．设圆的方程为：x2+y2=r2 ， （0＜r＜2）．设圆的切线为y=kx+m，可得 =r，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．与椭圆方程联立化为：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，利用根与系数的关系及其 ，可得 =x1x2+y1y2=0．化简整理即可得出．