Question

【题目】已知函数f（x）=xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x．
（1）若a= ，求函数f（x）的单调区间；
（2）若x∈[1，+∞）时恒有f（x）≤a﹣1，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：a= 时，f（x）=xlnx﹣ x2，x＞0．

f（x）的导数为f′（x）=1+lnx﹣x，

令g（x）=1+lnx﹣x，g′（x）= ﹣1，

当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）递减；当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）递增．

即有g（x）在x=1处取得极大值，且为最大值0．

则g（x）≤0，即1+lnx﹣x≤0，

即f′（x）≤0，则f（x）在（0，+∞）递减．

综上可得，f（x）的减区间为（0，+∞），无增区间

（2）解：当x≥1时，f（x）≤a﹣1，

即为xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x≤a﹣1，

当x=1时，上式显然成立．

当x＞1时，可得a≥ ．

由 ﹣1= ，

设g（x）=xlnx﹣（x﹣1）﹣（x﹣1）2（x＞1），

g′（x）=1+lnx﹣1﹣2（x﹣1）=lnx﹣2（x﹣1），

由g″（x）= ﹣2＜0在x＞1恒成立，

可得g′（x）在（1，+∞）递减，可得g′（x）＜g′（1）=0，

即g（x）在（1，+∞）递减，可得g（x）＜g（1）=0，

则 ＜1成立，

即有a≥1．

即a的范围是[1，+∞）．

【解析】（1）求得f（x）的解析式，求出导数，令g（x）=1+lnx﹣x，求出导数，单调区间和最大值，即可得到f（x）的单调区间；（2）当x≥1时，f（x）≤a﹣1，即为xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x≤a﹣1，讨论x=1和x＞1，由参数分离和构造函数g（x）=xlnx﹣（x﹣1）﹣（x﹣1）2（x＞1），求出导数和单调性，即可判断g（x）的单调性，可得a的范围．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．