Question

【题目】已知椭圆与双曲线有共同焦点，且离心率为.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设为椭圆的下顶点， 为椭圆上异于的不同两点，且直线与的斜率之积为.

（ⅰ）试问所在直线是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由；

（ⅱ）若为椭圆上异于的一点，且，求的面积的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）（0,0）；（ⅱ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意设椭圆的方程为，则，

又，∴，∴，则椭圆的方程可求:

（Ⅱ）（ⅰ）讨论可知，直线的斜率存在，设所在直线方程为，

联立，消去得： ，①

设， ，

， ，

， ，将上述结论代入可得

.又由题意

解得： .即直线恒过点（0,0）.

（ⅱ）由（ⅰ）知， ，

而，∴.

当时，设所在直线方程为，

则， ，

当时，亦符合上式，

∴ .

令， ，

，

∵，∴，

当，即时， 取最大值4，

所以当，即时， 面积最小，最小值为.

试题解析：（Ⅰ）由题意知：双曲线的焦点为， ，

设椭圆的方程为，半焦距为，则，

又，∴，

∴

∴椭圆的方程为.

（Ⅱ）（ⅰ）若直线斜率不存在，设， ，

则，

而，故不成立.

所以直线的斜率存在，

设所在直线方程为，

联立，消去得： ，①

设， ，

， ，

， ，

.

整理得： .

∴直线恒过点（0,0）.

（ⅱ）由（ⅰ）知， ，

面，∴.

当时，设所在直线方程为，

则， ，

当时，亦符合上式，

∴

.

令， ，

，

∵，∴，

当，即时， 取最大值4，

所以当，即时， 面积最小，最小值为.